Da gibt Fahrrad-XXL natürlich keine sehr genauen Teilebeschreibungen an und was das für eine Kassette und ein Schaltwerk ist, kann man nur vermuten.
Aber zumindest für die Kassette kann ich das anhand des Fotos schon ganz gut.

Dort ist als Bremsscheibe eine mit 160mm Durchmesser angegeben und davon ausgehend ist eine deutlich kleinere Kassette angebaut. Übrigens aktuelle Technik, die leicht ersetzt werden kann.
Ein Blick in das verfügbare Angebot für Shimano Tourney-Komponenten zeigt auch, das hier üblicherweise recht kleine Kassetten bis 28 Zähne verbaut werden. Es sprechen also sowohl andere Angebote als auch das Shop-Foto dafür, das eine kleine Kassette (so nennt man hinten das Ritzelpaket) verbaut ist.

Für 7-fach Antriebe größere Kassetten als bis 32 Zähne zu finden, ist schwierig. Also nehmen wir das mal als Ersatz. Des weiteren reicht der Käfig des Schaltwerks tiefer als das große Kettenblatt (die Kette steht auf der Unterseite nicht gerade sondern nach hinten geneigt), das deutet auf einen mittellangen oder langen Schaltwerkskäfig hin. Kassetten bis 32 Zähne sollten also ohne Wechsel des Schaltwerks montiert werden können.
Ganz genau lässt sich das allerdings nur mit Kenntnis der Modellnummern sagen oder indem man an den beiden Kettenrädchen des Schaltwerks deren Abstand von Schraube zu Schraube misst.

Dann würdest Du also durch Austausch der Kassette und Kette (denn die muss dann länger werden) und Materialkosten von 20-30 Euro auskommen. Zeitlich ginge das auch recht fix, wird also auch in der Werkstatt nicht teuer.

Die Kettenblätter der Kurbel kann ich nur raten, aber da geht möglicherweise auch ein etwas kleineres, inneres Kettenblatt drauf. Dazu muss dann möglicherweise auch der Umwerfer neu eingestellt werden. Zur Sicherheit würde ich das in einer Werkstatt gleich zusammen mit dem Wechsel der Kassette in Auftrag geben, dann kommt nicht soviel Extraarbeitszeit dazu.

Komplett neue Schaltungen an ein 400-Euro-Rad dran basteln, ist natürlich möglich. Aber das wäre so, als ließe man beim Sattler sein 150-Euro Ikea-Sofa mit Büffelleder neu beziehen. Das lohnt irgendwie nicht.