10-fach würde ich nicht nehmen, Teile sind teurer und der eine Gang reißt's nicht raus. Ich würde 9-fach nehmen, damit kannst du mit günstigen Schaltwerken auf jeden Fall mindestens 11/12-36 Kassetten schalten und du sparst dir viel Kopfzerbrechen.

Mit dem SunRace RDM900 9-fach Schaltwerk medium kann man sogar bis zu 11-51 Kassetten schalten. Kann man für 30 Euro bekommen. Passende Kassetten gibt es beispielsweise bei Aliexpress. Aber du willst ja wahrscheinlich kein 1x, darum nur als Anmerkung am Rande.

Die 3x9 Kurbel dürfte mit 10-fach Ketten eher nicht gehen, da 10-fach Ketten schmäler als 9-fach sind. Und selbst wenn eine 10-fach Kette auf 9-fach Kettenblättern laufen sollte wird die Schaltqualität wahrscheinlich nicht die gleiche sein. Andersrum ginge es schon.

Zur supergünstigen Lösung - 12-32 dürfte das Maximum bei 7-fach sein. Was du vielleicht machen könntest wäre größere Ritzel aus einer 8-fach Kassette nehmen, ggf. nur das 34er. Aber das ist dann wieder Bastelei wo nicht klar ist, ob die Lösung dann befriedigend ist.