Hi,
mit dem Rad ist man meist* nicht so fernab der Zivilisation wie z.B. bei einem Fußmarsch durch die Wildnis. Man kann zum Waschen problemlos alle paar Tage einen Campingplatz oder eine Unterkunft nutzen und muss nicht Bäche und Seen mit Seife einsauen.
Wenn ich mich in der Natur wasche, dann nur mit Wasser.
Geschirr habe ich antihaftbeschichtetes und das wische ich mit einem Tempo/Klopapier aus und das kommt dann in den Müll. In die Natur kommt nichts!

In manchen Ländern kann man tatsächlich auch in Tankstellen duschen. Da kann man dann auch gleich die Radhose mitwaschen.
Wenn du ein konkretes Reiseziel hast, dann kannst du fragen und bekommst hier bestimmt gute Tipps.

*In Tibet wollte ich auch mal Kleidung im Bach waschen, so war das vorab geplant. Allerdings waren die Bäche derart kalt, das selbst bei Socken nach kurzer Zeit die Finger steif waren und weiter Wäsche nicht möglich. Zudem ist in so kaltem Wasser das Waschergebnis schlecht. (Baden ist auch oft zu kalt)