Hallo,
beim Zelt achtet man zunächst auf die Größe, dann auf Wassersäule/Strapazierfähigkeit. Als "Wasserdicht" gelten wohl Zelte oberhalb 1.500mm Wassersäule. Empfehlenswert sind aus meiner Sicht Zelte ab 3.000mm, weil die UV - Strahlung die Wassersäule schnell verringert, besonders bei PU - beschichteteten Zelten. Silikonisierte sind widerstandsfähiger dagegen, entsprechen aber eher nicht Deinen Preisvorstellungen. Eine windstabile Konstruktion würde Dir in Norwegen sicher von Nutzen sein. Auch Thoralfs Einwand vom Gewicht ist nicht zu vernachlässigen. Du wirst Deine Kinder nur mit wenig Gepäck beladen können und buckelst die gesamte Fuhre alleine. Es wird Dich ankotzen, aber unmöglich ist es nicht. Ich würde in Deinem Fall zu so einer Isomattenrolle raten. Die ist billig, kann auch mal nass werden und sie ist sehr leicht - leider auch etwas voluminös.
Schlafsäcke von Aldi sind meist günstig und im Sommer ganz gut zu gebrauchen. Wenn Du Nachtfröste ausschließen kannst, probier es damit. Ich halte nix von denen, weil sie für ihre schlechte Wärmeleistung zu schwer sind. Wenn Deine Kinder erschöpft sind, frieren sie auch schneller. Das könnte denen zukünftige Radtouren vergällen. Im Grunde guckt man beim Schlafsack auf das Verhältnis zwischen Gewicht und Wärmeleistung bzw. dann auf den Preis.
Bei den Packtaschen würde ich nichts anderes nehmen als eine wasserdichte. Ortlieb bzw. Vaude haben hier wohl das beste Angebot. Deinem Modell mit Regenplane traue ich nicht und Plastetüten helfen auch nur sehr bedingt.
Letztlich spielt für Dich das Gewicht der Ausrüstung eine sehr bedeutende Rolle, weil Du auch Zeug für Deine Kinder transportieren musst. Und Gewichtsersparnis ist recht teuer. Ich möchte Dir keine konkrete Empfehlung geben, weil das Zeug, zu dem ich etwas sagen kann, zu klein und zu teuer für Dich ist. Daher bleib ich mal allgemein, vielleicht äußert sich noch jemand, der mit Kindern reist.
Gruß Peter