Es ist zwar viel geschrieben worden hier - aber wohl nicht zum eigentlichen Problem an sich:

(Wenn keine Luft im System ist, was sich am Hebel dann "weich und nachgiebig" anfühlt, wenn man Bremsdruck aufbaut.)

Wenn Du den Hebel zu weit ziehen muss, bevor die Beläge richtig an der Scheibe liegen und Bremswirkung erzielen, hat der Hebel selbst zu viel Leerweg. Diesen stellt man bei Shimano-STI ganz einfach ein: Händlerbetriebsanleitung -> dort Seite 62: "Einstellen des Leerwegs" - Fertig! Wenn Du also die GRX 810-Bremse hast (Hebel ST-RX810-R), ist das 'ne Sache von zwei Minuten.

Diese Einstellschraube für den Leerweg macht nichts anderes, als dem System etwas "Vor-Druck" mitzugeben und dadurch die Beläge am Sattel etwas weiter zur Scheibe zu bringen (hier geht es um Millimeter-Bruchteile!).
Dazu muss man nichts entlüften, nichts öffnen, um Öl einzufüllen, nichts auseinander oder zusammen drücken - einfach die Schraube nach Anleitung etwas eindrehen. (Geht nicht mit Bremshebel ST-RX400/ST-RX600/BL-RX600/BL-RX812!)

Diese Leerweg-Verstellung hat den Vorteil, dass unterschiedliche Bremsscheiben-Stärken ausgeglichen werden können. Wenn man dickere Scheiben montiert, können die Beläge schleifen - dann nimmt man die Leerweg-Verstellung etwas zurück - schon läuft die Scheibe frei (oder anders herum). Das alles vernünftig eingestellt werden kann, setzt voraus, dass bei der Erstmontage nicht geschlampt wurde.

Nein - siehe vorstehend.

Damit änderst Du nur den Abstand Hebel <-> Lenker, das hat keine Auswirkung auf den Leerweg des Systems. Beides kann man (mit Ausnahme der oben genannten Modelle) getrennt voneinander einstellen.