Hallo Gerald,
wenn du die Strecke über Budapest wählst und auf die Bükk-Hochfläche hinauf möchtest, würde ich dir empfehlen, von Eger bis Szilvasvárad im Tal zu bleiben. Ab Szilvasvárad gibt es eine schmale asphaltierte Straße hinauf, die normalerweise für den öffentlichen Verkehr gesperrt ist, der Anstieg zieht sich zwar, aber ist nicht zu steil. Außerdem gibt es zu besichtigen: Abtei in Bélapátfalva, Szalajka-Tal mit Fischteichen und Forstmuseum, Höhle am Fuße des Berges Istállóskö.
Die andere Strecke über Felsötárkány ist zwar auch landschaftlich schön, allerdings empfinde ich es nicht so angenehm, wenn die Kraftfahrzeuge aufgrund der Steigung mehr Abgase als normal mir unter die Nase pusten.
Als ich vor einigen Jahren in der Gegend war, bin ich von der Bükk-Hochebene dann über Mályinka-Dédestapolcsány am Lázbércer Stausee vorbei nach Uppony und weiter über Putnok in den Aggteleker Karst gefahren. Szilvásvárad-Dédestapolcsány hatte ich natürlich auch schneller und ohne Steigungen haben können, aber ich wollte mal wieder direkt rein ins Bükk-Gebirge.
Die Fahrradmitnahme klappte bei mir schon mehrere Male unproblematisch, allerdings mit Stellplatzreservierung. Nachteil ist jedoch, dass dieser Zug erst gegen 22 Uhr oder sogar noch etwas später in Budapest ankommt. Der nächste Campingplatz vom Ostbahnhof ist der Haller-Camping, ca 4 km vom Bahnhof entfernt im IX. Stadtbezirk.
Viel Spaß bei deiner Tour, egal, für welche Variante du dich schließlich entscheiden wirst.
Viele Grüße aus Budapest
Martin