Das Problem tritt auch bei Schaltbremshebeln fürs Rennrad auf.
Meine Lösung allerdings auch von recht vielen anderen praktiziert, ist den ganzen Mechanismus sozusagen mit W40 oder ähnlichen lösungshaltigen Mitteln zu fluten und den ganzen Dreck, verharztes Fett und ähnlichen Unrat raus zu spülen.
So eine halbe kleine Dose oder deutlich mehr als 200ml können dabei schon mal draufgehen, während der Spülung solltest Du auch immer mal wieder die Schalthebel betätigen.
Fleißige Leute bauen die Teile allerdings ab und legen sie Übernacht ein.
Das ist zwar wirklich eine Riesenschweinerei, also bloß nicht in der Wohnung und genügend Saugmaterial zur Hand haben, wirkt aber bis jetzt eigentlich immer.
Da W40 kaum nachfettende oder längerfristige Schmiereigenschaften hat, solltest Du nach der Reinigung mit einem nichtharzenden Sprühfett noch mal reinhalten.