Vielen Dank für die ganzen hilfreichen und informativen Antworten. Ich möchte die Gelegenheit nutzen, um zu beschreiben, wie wir zurückgekommen sind, da es am Ende nicht so schlimm war, wie befürchtet:
Ab Constanza gibt es Bahnlinien mit Fahrradmitnahme nach Bukarest. In der Suchmaske der rumänischen Bahn kann man angeben, dass man Verbindungen mit Fahrradmitnahme heraussuchen möchte. Diese Züge gehören allerdings alle privaten Bahngesellschaften. Wir haben den Zug online gebucht und das Fahrrad mussten wir im Zug bezahlen, aber es waren nur 10 Leu. Es gab keine Diskussionen im Zug.
Aus Neugierde haben wir auch einen Schaffner der staatlichen Bahnen angesprochen. Er nannte einen höheren Betrag für die Radmitnahme, aber es war bei ihm auch möglich.
Kurzum: Einfach machen.
Wir sind dann eine Nacht in Bukarest geblieben. In der Zwischenzeit habe ich mir die Stadt kurz angeschaut. Am nächsten Tag sind wir mit Flixbus nach Hause gefahren, die auch offiziell Fahrräder mitnehmen.