Wenn ich mein Reisebüro bei einer ähnlichen Frage richtig verstanden habe, dann läuft das wie folgt:

Flüge von Europa nach USA haben generell ein Freigepäck von 2 x 23 kg, d.h. wenn das Fahrrad unter 23 kg wiegt, dann kommt es umsonst als "normales" Gepäck mit.

Bei anderen Flügen ist die Freigepäckgrenze deutlich geringer, d.h. ihr habt das Kostenproblem mit dem Fahhrad.

Nach Neuseeland könnt ihr sowohl über Asien als auch USA fliegen, d.h. im Falle eines Fluges über USA habt ihr das Fahrradproblem los.

Der Tip meines Reisebüros war Air New Zealand, die über USA fliegen und wohl auch ansonsten sehr fahrradfreundlich sind.