Doch hoffentlich nicht mit der 9V-Batterie?

Moderne LED-Fahrradscheinwerfer haben einen Spannungsbegrenzer, damit ja nicht zu viel Strom am Rücklicht ankommt. An 5V oder 6V kannst du das Rücklicht anschließen, aber bei 9V kann es gut sein, dass das Rücklicht mal kurz hell wird und danach beim Anschluss in beide Richtungen nix mehr brennt...

Alten Glühbirnen kann man etwas Überspannung mal zumuten, das sind ja weitgehend ohmsche Widerstände. Aber bei LEDs muss man echt aufpassen, die Strom-Spannungs-Kennlinien von LEDs kennst du?
Bei Versorgung aus einem Dynamo ist das nicht so problematisch, weil die eine interne Strombegrenzung haben. Aber bei der Batterie kann der Kurzschlussstrom sehr hoch sein.

Dass der Axa sich anderes verhält als der Bumm, muss nix bedeuten. Wie gesagt, da können verschiedene Gleichrichterschaltungen werkeln. Bei der ganz simplen Schaltung "Brückengleichrichter und LED dahinter (womöglich noch mit Vorwiderstand)" spielt die Polartiät natürlich keine Rolle. Ich gehe aber mal davon aus, dass bei dem Cyo die Schaltung deutlich komplexer ist.