Meine Erfahrungen, als wir noch mit Kindern radelten liegt schon eine ganze Weile zürück.
Zwei Ideen möchte ich dennoch erwähnen, ich weiß jedoch nicht ob ich sie trotz der Einschränkungen ins Wiki stellen sollte.

1. Damals habe ich gute Erfahrungen am Neusiedler See gemacht, gut ausgeschilderte, breite Radwege, Badestrände in mehreren Orten, Ausflugslokale, zumindest auf der österreichischen Seite zwischen Neusiedl u. Apetlon
(Allerdings muss ich gestehen, dass ich den nordwestlichen Abschnitt zwischen Rust und Neusiedl nicht kenne.)Sicher wissen die Wiener Kollegen dazu mehr.

Der ungarische Abschnitt ist nicht so perfekt ausgebaut, aber besteht auch zum größeren Teil aus Radwegen, ist aber etwas hügelig und erst für größere Kinder geeignet. Einzige Badestelle ist in Fertőrákos

Als Alternative bietet sich die Fahrradfähre von Illmitz nach Mörbisch an- damit bleit man in Österreich.

2. Der Balaton in Ungarn ist ja auch ein kinderfreundlicher See, flaches, warmes Wasser, Badeorte rings um den See, praktisch lückenlos.
Eine Radstrecke ist rings um den See ausgeschildert (ca. 210 km), am Südufer topfeben, am Nordufer etwas hügelig.

Großes Manko der Strecke: sie führt nicht immer auf separaten Radwegen, oft auf "wenig" befahrenen Straßen durch die Erholungsorte, wo parkplatzsuchende Autofahrer nicht unbedingt auf Radfahrer achten.
Deshalb würde ich den Balaton erst mit Kindern befahren, die beim Radeln nicht mehr "träumen".
Reiseziele mit Kindern hängt halt auch vom Alter der Kinder ab.

Manko Nr.2 Die Anreise mit dem Zug ist problematisch.
Die direkte Eisenbahnstrecke von Győr nach Veszprém soll zumindest abschnittsweise stillgelegt werden.
Die Anfahrt über Budapest ist etwas schwierig, weil Ankunft aus Richtung Deutschland/Österreich auf dem Ostbahnhof erfolgt und die Abfahrt zum Balaton ab Südbahnhof.
Grüße aus Budapest
Martin