Nach dem von dir verlinkten ÖBB-Fahrplan ist zwischen Kecskemét und Kiskunfélegyháza Schienenersatzverkehr, das kann sich natürlich zum Zeitpunkt der geplanten Tour ganz anders darstellen.

Im IC von Budapest nach Szeged- auch wenn kein Schienersatzverkehr- ist die Fahrradmitnahme reservierungspflichtig.
Leider habe ich da keine Erfahrung, ob eine spontane Reservierung am Bahnhof Probleme macht, aber ich nehme an, eher nicht. Das ist ja keine so populäre Region, wie der Balaton oder Wien. Und die IC-Züge fahren Bp-Szeged fahren im Stundentakt, da wird schon irgendwann mal ein Stellplatz frei sein.
Durch den Umbau des Bf. Bp-Nyugati (wo sonst die IC nach Szeged abfahren) muss man vom Bf. Keleti (Wo Wien-Bp. ankommt) zum Bf. Zugló mit dem Rad fahren- ca. 3 km.

Ansonsten in Budapest übernachten und am nächsten Morgen (kurz vor 8 ab Bp.) mit dem Personenzug nach Kelebia, und dort über die ungarisch-serbische Grenze.

Wie es in Serbien weitergehen kann- keine Ahnung.