Die Option ist Herstellerabhängig.
Nun ja, entweder Du hast eine Displaysperre oder eben nicht.
BT verbraucht gar nicht so viel Strom. Da in diesem Anwendungsfall ja eigentlich nie Daten gesendet/empfangen werden, fällt keine Prozessorlast an um diese zu verarbeiten. Das Doppeltippen aufs Display kostet auch Energie, da die Touchfunktion des Displays ständig aktiv sein muss, um Dein Tippen zu erkennen.