Wenn man sich auf Haushaltstipps beschränken muss, würde ich Nagellackentferner empfehlen. Im Drogeriemarkt wird zum Glück noch immer auch Nagellackentferner mit Acetongehalt verkauft. Das ist in der Regel der Billigste im Angebot, etwa €0,50-1,00 für ein kleines Fläschchen.
Drücke etwas Watte in das Gewinde und tränke die Watte anschließend mit dem Lösemittel. Warte etwa fünf Minuten und drehe dann probeweise die Schraube des Schaltwerks ein.
Der Lack dürfte nun angelöst worden sein und bietet weniger Widerstand.

Das ganze idealerweise bei ausgebautem Schaltauge.

Das Gewinde ist übrigens ein M10x1 Feingewinde. Statt des Schaltwerks passt dort auch eine Hinterradnabe mit Vollachse hinein. Auch hier ist ein M10x1-Gewinde gängig (außer bei Shimano Getriebenaben) und solch ein Achsstummel lässt sich vielleicht besser einschrauben.

Je nach Beschaffenheit und Farbe des Schaltauges lässt sich der Lack auch mit Hitze aufweichen. Ein Feuerzeug reicht da schon. Die Brandspuren sind direkt am Gewinde später natürlich unsichtbar. Sollte man aber nur bei schwarzem oder klarem Lack so verunstalten.

In einer Werkstatt mit entsprechender Ausstattung würde man das Gewinde vorrangig nachschneiden.
Lösemittel wie Aceton können bei unachtsamer Verwendung auch andere lackierte Oberflächen schädigen. Zudem sind die Dämpfe gesundheitsschädlich.
Gleiches gilt für offenes Feuer, auch hier geht man das Risiko einer Beschädigung anderer Teile ein, die mit zuviel Hitze in Berührung kommen, bis hin zum Brand. Vor allem, wenn die Flasche mit dem Aceton noch daneben stünde.