Die Scheibe berührt also die Bremsbeläge. Nicht sofort, aber während der Fahrt. Vielleicht mal stukturiert die Ursachen ausschließen:

1. Ja, auch wenn Du das schon ausgeschlossen hattest, aber es kann eben doch sein, das das Laufrad nicht gerade sitzt.

Dabei kann es sein, das die Achse nicht gerade sitzt, weil vielleicht ein Farbrest verhindert, das sie auf beiden Seiten gleich weit in die Achsaufnahme rutscht.
Das könnte man aber an der Position der Felge in der Gabel erkennen. Überprüfe, ob die Felge mittig zwischen den Galbelholmen sitzt. 1-2mm Unterschied sind dabei ok, das sind Ungenauigkeiten beim Zentrieren. Aber mehr wäre ein Hinweis auf Schiefstand.

Abgesehen vom Laufrad kann auch die Gabel das Problem verursachen. Sie kann verbogen bzw. verzogen sein oder die Bremsaufnahme ist nicht präzise genug ausgerichtet oder eben auch beschädigt oder zu dick lackiert.
Das sollte man mit einem Messschieber mit Tiefenanschlag prüfen und den Abstand zwischen der Bremsaufnahme und der Scheibe an beiden Befestigungspunkten messen. Er sollte gleich sein.

2. Das Rad ist gerade, die Gabel auch? Dann ist vielleicht die Scheibe verbogen?

Je größer der Durchmesser der Scheibe ist, desto leichter passiert dies. Auf die Schliche kommt man einer krummen Scheibe leicht. Während das Rad rotiert, blickt man auf den Lichtspalt zwischen Bremsbelag und Scheibe. Verändert sich dieser, kann man die Scheibe mit dem Daumen in die entsprechende Richtung drücken und so zentrieren.
Gerade weil es sich so einfach beheben lässt, tritt es auch häufig auf. Ein Kontakt der Scheibe mit einem anderen Gegenstand im Alltag kann diese geringfügig biegen.

3. Wenn nichts krumm ist, liegt die Ursache tiefer.

Ein Fremdkörper auf den Bremsbelägen, ein Stein oder Sandkorn kann den Abstand verringern. Dem kommt man nur auf die Schliche, wenn man die Beläge ausbaut und prüft.

4. Und zu guter Letzt kann es ein Defekt der Bremse sein.
Ein Dichtungsschaden im Griff oder Sattel kann die Belagrückstellung stören. Dadurch bleiben die Bremsbeläge sehr nahe über der Scheibe. Der Hebelweg bis zum Druckpunkt ist sehr kurz und die Beläge schleifen dann ständig oder mit ansteigender Tagestemperatur zunehmend auf der Scheibe.
Klingt sehr theoretisch? Leider habe ich gerade genau das Problem und nachdem ich mehrfach entlüftet habe, versagte einer der Hebel vollständig seinen Dienst und scheint verstopft. Weil es wirtschaftlicher ist, tausche ich in diesen Tagen die Bremse komplett aus.
Zwischen Belag und Scheibe sollte ein Spalt von etwa 1mm Breite sichtbar sein. Es gibt auch Bremsen mit Druckpunktverstellung bei denen man diesen Abstand justieren kann. Sollte der Spalt also sichtbar knapper sein und ein solcher Regler ist vorhanden (bei Shimano gibts das nicht), kann man den Belagabstand damit vergrößern.