Hallo Heike,
ich hab letztes Jahr die Fähre von Xiamen nach Kaohsiung genommen. Du kannst entweder nach Keelung oder Kaohsiung fahren - die Fähren fahren ca. 1x pro Woche, und man muss die Tickets natürlich vorher kaufen. Würde also zusehen dass ich 5-7 Tage vor Ablauf des Visums in Xiamen bin und sofort nach einem Ticket fragen.
Tickets gibt's soweit ich weiß nur am Terminal in Xiamen - das ist aber modern wie ein Flughafen, und an der Information können sie englisch. Fahrradmitnahme kostenlos, es macht aber keiner und deshalb gucken alle ganz blöd

Weiterreise brauchst du keine; die Einreise in Kaohsiung war völlig easy, wurde nach nix gefragt und sie waren total entspannt. Du kriegst den "90 days visa exempt" Stempel und dann ist alles gegessen. In China wollten sie nur wissen ob ich "auch nicht zurückkomme" und dann waren sie zufrieden.
In Taiwan waren alle echt total freundlich und entspannt, und nicht nur die Behörden. Ich glaube es wird dir gefallen!
P.S. in Xiamen gibts eine schöne YHA Jugendherberge. Falls du nach Kaohsiung fährst kannst du einfach zum HBF radeln und dann hilft dir die Informationsdame kostenlos mit einer günstigen Unterkunft.